Przykłady rozwiązywania układów równań różniczkowych metodą operatorową

Przykład 1:

Rozwiązać układ równań

\( \begin{cases}2x^\prime+y^\prime-5x=0 & \\ x^\prime+y^\prime-x=0.&\end{cases} \)

Układ ten zapisany przy użyciu operatorów ma następującą postać

\( \begin{cases}(2D-5)x+Dy=0 & \\ (D-1)x+Dy=0. &\end{cases} \)

Na podstawie zależności 5, szukane funkcje \( \hskip 0.3pc x,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami następujących równań:

(2)

\( \begin{vmatrix} 2D-5&D\\D-1 & D\end{vmatrix}x=\begin{vmatrix} 0 &D\\0 & D\end{vmatrix}, \hskip 1pc \begin{vmatrix} 2D-5&D\\D-1 & D\end{vmatrix}y=\begin{vmatrix}2D-5 &0\\ D-1 & 0\end{vmatrix}. \)

Ponieważ

\( \begin{vmatrix} 2D-5&D\\D-1 & D\end{vmatrix}=(2D-5)\circ D-D\circ (D-1)=2D^2-5D-D^2+D=D^2-4D, \)

\( \begin{vmatrix} 0&D\\0 & D\end{vmatrix}=D(0)- D(0)=0, \hskip 1.2pc \begin{vmatrix} 2D-5&0\\D-1 & 0\end{vmatrix}=(2D-5)(0)-(D-1) (0)=0 \)

więc równanie ( 2 ) można zapisać następująco:

\( (D^2-4D)x=0, \hskip 1pc (D^2-4D)y=0. \)

Zatem \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami następujących równań rzędu drugiego

(3)

\( x^{\prime\prime} - 4x^\prime=0 \hskip 0.7pc {\rm i} \hskip 0.7pc y^{\prime\prime}-4y^\prime=0. \)

Równania charakterystyczne dla obu równań ( 3 ) są takie same, a mianowicie

\( \lambda ^2-4\lambda =0. \)

Pierwiastkami tego równania są \( \hskip 0.3pc \lambda _1=0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \lambda_2=4\hskip 0.3pc \) więc rozwiązania ogólne równań ( 3 ) są następujące:

\( x(t)=c_1+c_2e^{4t} \hskip 1pc {\rm i} \hskip 1pc y(t)=c_3+c_4e^{4t}. \)

Podstawiając teraz \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) do układu ( 1 ) i dokonując redukcji wyrazów podobnych, dostajemy układ równań:

\( \begin{cases}(3c_2+4c_4)e^{4t}-5c_1=0 & \\ (3c_2+4c_4)e^{4t}-c_1=0. &\end{cases} \)

Uwzględniając fakt, że funkcje \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc e^{4t}\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne otrzymujemy

\( c_1=0 \hskip 0.5pc {\rm i} \hskip 0.5pc 3c_2+4c_4=0. \)

Zatem rozwiązania \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) układu ( 1 ) są następujące

\( x(t)=c_2e^{4t} \hskip 0.5pc {\rm i} \hskip 0.5pc y(t)=c_3-\frac{3}{4}c_2e^{4t} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_2\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_3\hskip 0.3pc \) -są to dowolne stałe.

Przykład 2:

Rozwiązać układ równań

(4)

\( \begin{cases}x^\prime-x+y^{\prime\prime}+y=1 & \\ x^{\prime\prime}-x+y^\prime+y=2. &\end{cases} \)

Układ ten zapisany przy użyciu operatorów ma następującą postać

\( \begin{cases}(D-1)x+(D^2+1)y=1 & \\ (D^2-1)x+(D+1)y=2 &\end{cases} \)

i z mamy

(5)

\( \begin{vmatrix} D-1&D^2+1\\ D^2-1 & D+1\end{vmatrix}x= \begin{vmatrix} 1 &D^2+1\\ 2& D+1\end{vmatrix}, \hskip 1.5pc \begin{vmatrix} D-1&D^2+1\\ D^2-1 & D+1\end{vmatrix}y= \begin{vmatrix} D-1 &1\\ D^2-1 & 2\end{vmatrix}. \)

Ponieważ

\( \begin{vmatrix} D-1&D^2+1\\D^2-1 & D+1\end{vmatrix}=(D-1)\circ (D+1)-(D^2+1)\circ (D^2-1)=D^2-D^4, \)

\( \begin{vmatrix} 1&D^2+1\\2 & D+1\end{vmatrix}=(D+1)(1)- (D^2+1)(2)=D(1)+1-D^2(2)-2=-1, \)

\( \begin{vmatrix} D-1&1\\ D^2-1 & 2\end{vmatrix}=(D-1)(2)-(D^2-1)(1)=D(2)-2-D^2(1)+1=-1 \)

więc \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami następujących równań rzędu czwartego

(6)

\( -x^{(4)}+x^{\prime\prime}=-1 \hskip 0.7pc {\rm i} \hskip 0.7pc -y^{(4)}+y^{\prime\prime}=-1. \)

Równanie charakterystyczne dla równania jednorodnego

(7)

\( -x^{(4)}+x^{\prime\prime}=0 \)

ma postać

\( -\lambda ^4+\lambda^2=0 \)

i jego pierwiastkami są \( \hskip 0.3pc \lambda_1=0\hskip 0.3pc \) pierwiastek dwukrotny, \( \hskip 0.3pc \lambda_2=-1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \lambda_3=1.\hskip 0.3pc \)
Zatem rozwiązanie równania jednorodnego ( 7 ) ma postać

\( x_0(t)=c_1+c_2t+c_3e^{-t}+c_4e^t. \)

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego ( 6 ) wyznaczamy metodą przewidywań.
Ponieważ obie funkcje po prawej stronie równań są równe \( \hskip 0.3pc -1,\hskip 0.3pc \) zaś \( \hskip 0.3pc 0\hskip 0.3pc \) jest pierwiastkiem dwukrotnym równania charakterystycznego, więc szukane rozwiązanie jest postaci \( \hskip 0.3pc x_p(t)=At^2.\hskip 0.3pc \) Podstawiając \( \hskip 0.3pc x_p(t)\hskip 0.3pc \) do pierwszego równania układu ( 6 ) otrzymujemy, że \( \hskip 0.3pc A=-\frac{1}{2},\hskip 0.3pc \) więc \( \hskip 0.3pc x_p(t)=-\frac{1}{2}t^2.\hskip 0.3pc \)
Zatem rozwiązanie ogólne pierwszego równania z układu \( \hskip 0.3pc 6 \hskip 0.3pc \) ma postać

\( x(t)=x_0(t)+x_p(t)=c_1+c_2t+c_3e^{-t}+c_4e^t-\frac{1}{2}t^2. \)

Rozwiązanie drugiego równania z ( 6 ) ma taką samą postać

\( y(t)=y_0(t)+y_p(t)=c_5+c_6t+c_7e^{-t}+c_8e^t-\frac{1}{2}t^2. \)

Podstawiając \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) do układu ( 4 ) otrzymujemy układ równań

\( \begin{cases}c_2-c_1+c_5-1+(c_6-c_2-1)t+(2c_7-2c_3)e^{-t}+2c_8e^t=1&\\-c_1+c_6+c_5-1+(c_6-c_2-1)t+2c_8e^t=2.&\end{cases} \)

Ponieważ funkcje \( \hskip 0.3pc 1,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc t,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc e^{-t},\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc e^t\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne, więc dostajemy następujący układ równań

(8)

\( \begin{cases}-c_1+c_2+c_5-1=1 & \\-c_1+c_5+c_6-1=2 &\\-c_2+c_6-1=0 &\\2c_7-2c_3=0&\\ 2c_8 =0& \end{cases} \)

z którego wynika, że

\( c_8=0, \hskip 1pc c_7=c_3, \hskip 1pc c_6=c_2+1, \hskip 1pc c_5=c_1-c_2+2. \)

Zatem rozwiązaniem układu ( 4 ) są funkcje

\( x(t)=c_1+c_2t+c_3e^{-t}+c_4e^t-\frac{1}{2}t^2, \)

\( y(t)=c_1-c_2+2+(c_2+1)t+c_3e^{-t}-\frac{1}{2}t^2 \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1, \hskip 0.3pc c_2,\hskip 0.3pc c_3\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_4 \) są to dowolne stałe.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Przykłady rozwiązywania układów równań różniczkowych metodą operatorową

Przykład 1:

Przykład 2: